LOS DEFECTOS DEL APARATO EUCLIDIANO
La geometría clásica que le dio Euclides en sus elementos, de teoría deductiva. El geómetra no procede sino por vía demostrativa, no funda sus pruebas si no sobre lo que se ha establecido, conformándose con las leyes de la lógica. Cada teorema se encuentra unido por una relación necesaria a las proposiciones, de las cuales se deduce como consecuencia, se constituye una red directa o indirectamente.
Es en el siglo XIX cuando se mide la distancia que subsistía entre la exposición tradicional y una teoría deductiva ideal. Euclides para muchas generaciones ha sido quizá menos un profesor de geometría que de lógica., el rasgo que distingue mejor a las matemáticas de esta época, es en efecto un acrecentamiento del afán del rigor lógico, revelándose como defectuosa.
Así “los griegos razonaron con toda exactitud posible en las matemáticas y dejaron al género humano modelos de arte de demostrar”.
Se hicieron esfuerzos por rectificarla y la presentación axiomática de la teoría fue el resultado; un resultado axiomático es, la forma acabada que toma, una teoría deductiva cualquiera.
Los postulados.- Tienen un carácter operatorio muy general, con la única mira de anunciar que uno se permitirá construcciones con la regla y el compas.
Nace así la llamada evidencia intuitiva que durante una proposición muy particular, pide que se le otorgue, sin poder justificarla, de otra manera que de pura suerte. De aquí nace el concepto postulado que es una afirmación que se da por cierta sin demostrarla y que sirve de base y fundamento para explicar o resolver algo.
Es entonces donde se toma mayor énfasis al quinto postulado de Euclides que dice: Dado un punto P exterior a una recta L, existe una y solo una recta paralela a L que contiene a P".
Para muchos geómetras tenía un aspecto de teorema empírico, cuya verdad no era puesta en cuestión pero cuya demostración quedaba por descubrir. Por tanto los principios que imponen son simples hipótesis, ósea que no son dudosos, tomando así la matemática un carácter global; la de una vasta implicación, en donde la conjunción de todos los principios constituye el antecedente, y la de todos los teoremas, el consecuente.
Las figuras.- En Euclides, el postulado de las paralelas hacia a la intuición espacial un llamado explicito, pero aparentemente excepcional, pero donde todas la piezas se deben a la intuición.
Por ejemplo el valor de la suma de los ángulos interiores es igual a 180º, si lo sometemos a una cuestión de cómo se soluciono, se construye un triangulo, prolonga uno de los lados, etc. Y llega al resultado por una cadena de razonamientos guiada constantemente por la intuición.
Por tanto en la comprobación de los postulados de Euclides durante, la demostración de figuras es deficiente ya muchos no perciben la figura de manera mental, por tanto la demostración se viene abajo.
Euclides y sus sucesores pasan en silencio las propiedades topológicas, es decir el orden y la continuidad, independientemente de toda consideración de ángulos y de métrica.
Axiomas.- Los axiomas, se colocan tradicionalmente, para completar los principios de la geometría, ya que los axiomas son una premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas «verdades evidentes» porque permiten deducir las demás fórmulas.
La separación de los axiomas y del postulado quedo a menudo indeciso, las cuales han sido tomadas indiferentemente la una por la otra, en la medida que se distingue del postulado, el axioma envuelve en primer lugar la idea de una evidencia intelectual. Mientras el postulado es una proposición sintética, permanece no obstante concesible.
Dentro del apartado euclidiano se manejaban diferentes definiciones, las cuales también son iguales a la designación, ya que ambas son el significado que da a determinada cosa o lugar por ejemplo:
LINEA RECTA:
EUCLIDES.- la que descansa igualmente sobre sus puntos
HERON.- El camino más corto entre dos puntos
Demostración y definición.- Una demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de (hipótesis) fundada podría decirse que es un postulado.
Una definición puede ser una declaración de las propiedades de cierta cosa o bien una declaración de equivalencia entre un término y el significado de esos términos ya sea en axiomas o en teoremas.
Por tanto se toma que las matemáticas son: Un sistema hipotético-deductivo ósea una ciencia que partía de la observación de hechos y que de esa observación repetida de fenómenos comparables, se extraían por inducción las leyes generales que gobiernan esos fenómenos.
LAS PRIMERAS AXIOMATICAS
Nacimiento de la axiomática.- siendo entonces considerado el encadenamiento lógico como un medio para alcanzar proposiciones verdaderas, o para hacerlas aceptar de los demás según una especie de argumentación retorica, eran tolerables algunos efectos de rigor.
Es Pasca quien, en 1882, intento la primera axiomatización de la geometría. Si su solución presenta muchas imperfecciones debidas en parte al hecho de que el autor conserva la actitud del empirismo clásico, al menos planteo claramente el problema: “para que la geometría llegue a ser verdaderamente un ciencia deductiva, es necesario que la manera en cómo se sacan las consecuencias sean en todas partes independiente del sentido de los conceptos geométricos, como debe serlo de las figuras.
He aquí las condiciones fundamentales a las que para ser verdaderamente rigurosa, debe satisfacer una exposición deductiva:
1.- que sean enunciados explícitamente los términos primeros, con ayuda de los cuales se propone definir todos los otros.
2.- que sean enunciadas explícitamente las proposiciones primeras, con ayuda de las cuales se propone uno demostrar todas las otras.
3.- que las relaciones enunciadas entre los términos primeros sean puras relaciones lógicas, y permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a los términos.
4.- que solo estas relaciones intervengan en las demostraciones, independientemente del sentido de los términos.
Anterioridad de un sistema.- las reglas establecidas por Pasch comportan una distinción clara entre los términos o proposiciones propias. Si se trata de la geometría, los términos propiamente geométricos que figuran en las proposiciones primeras no pueden evidentemente formar proposiciones más que si están unidos entre ellos por otras palabras, que tengan una función lógica, tales como: él, y, todo, no, es un, …, si, etc.
Además de la lógica, un sistema geométrico presupone ordinariamente la aritmética. Para definir un triangulo es necesario emplear un numero 3; para demostrar que la suma de sus ángulos vale dos rectos, es necesario admitir la validez de los teoremas aritméticos acerca de la adición.
Es difícil, señalaba Poincare “enunciar una frase sin poner en ella un nombre de numero, o al menos la palabra varios, o una palabra en plural”. Ya que el aritmético y el lógico numeran sus proposiciones y sus teoremas, cuenta el número de sus nociones primeras. Lo que es verdad de las nociones aritméticas, con mayor razón para las nociones lógicas
Indefinibles e indemostrables.- sistemas equivalentes. Uno de los rasgos que caracterizan mas visiblemente la puesta en forma axiomática de una teoría deductiva, es que se comienza por despejar y enunciar, donde expresa los indefinibles y los indemostrables dela teoría.
Un término no es indefinible, una proposición no es indemostrable, si no en el interior de un sistema estructurado de una cierta manera y pueden construir siempre el objeto de una definición o de una demostración si se modifica convenientemente las bases del sistema.
Las definiciones por postulados.- los postulados no son afirmados a titulo de verdades generatrices de otras verdades, si no simplemente puestos a titulo de hipótesis, los cuales permiten deducir un conjunto dado de proposiciones, o de las cuales uno se propone investigar qué consecuencias se implican. Y se sabe que no es en manera alguna necesario que las proposiciones sean verdaderos y conocidas como tales, para que se puedan razonar correctamente sobre ellas, siendo la validez de un razonamiento independiente de la verdad de sus contenido.
La matemática es una ciencia en donde no se sabe jamas de que se habla, ni si lo que se dice es verdadero: esta ocurrencia bien conocida que sugería Russell la consideración de la matemática axiomatizada, vale para toda la axiomática en general. Según Poincare: la matemática es el arte de dar el mismo nombre a las cosas diferentes.
Dos ejemplos de axiomáticas.- Peano construyo para la teoría de los números naturales, principalmente el cero donde anotaremos las 5 proposiciones de la notación simbólica en el lenguaje usual:
1.- cero es un número
2.- el sucesor de un número es un número
3.- dos números cualesquiera no pueden tener el mismo sucesor
4.- cero no es el sucesor de ningún número
5.- si una propiedad pertenece a cero y si cuando pertenece a un número cualquiera, pertenece también a su sucesor, entonces pertenece a todos los números.
Modelos. Isomorfismo.- se puede llamar concreta material o intuitiva a una teoría en un estado pre axiomático, es decir que mantiene el contacto con los conocimientos que organiza y que presenta un contenido que conserva su sentido y su verdad empíricos.
Consistencia e integridad.- la elección de los postulados que se ponen por base de una axiomática no es por eso dejado al azar: queda sujeto a exigencias internas diversas, más o menos imperiosas.
La más apremiante es, la de coherencia. Si los diversos postulados de un sistema no fueran compatibles entre ellos, el sistema llegaría a ser contradictorio.
A falta de una demostración, quedan dos procedimientos para establecer la no contradicción de una teoría. En primer lugar, la reducción a una teoría anterior. Se postula la no contradicción de un sistema prácticamente bien establecido, como la aritmética clásica o la geometría euclidiana.
Un segundo procedimiento consiste en dar, de la teoría en cuestión, una realización en el mundo de las cosas. En lugar de hacer volver la teoría a una teoría anterior cuya consistencia este mejor asegurada, se desciende al contrario hacia lo concreto, se construye un modelo físico.
